Bài tập 8 - Trang 91 Hình học 12 -Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).

8. Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0.

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α) ;

b) Tìm tọa độ điểm M'' đối xứng với M qua mặt phẳng (α).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).

Hướng dẫn giải:

a) Xét đường thẳng d qua M và d ⊥ (α).

Khi đó H chính là giao điểm của d và  (α). 

Vectơ (1 ; 1 ; 1) là vectơ pháp tuyến của (α) nên  là vectơ chỉ phương của d.

Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng:    .

Thay tọa độ x ; y ; z của phương trình trên vào phương trình xác định (α), ta có:

3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0).

b) Gọi M''(x ; y ; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống (α) chính là trung điểm của MM''.

Ta có: 

 => x = -3 ;

    => y = 0 ;

    => z = -2.

Vậy M''(-3 ; 0 ;2).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) bằng 2 cách sau:

Cách 1: Áp dụng công thức ta có:

.

Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:

      d(M,(α) )= MH = .